MATEMATIKA

A.       Determinan dan Invers Matriks

1.    Deterninan Matriks Persegi

a.       Determinan matriks ordo 2 x 2

Matriks berordo 2 × 2 yang terdiri atas dua baris dan dua kolom. Pada bagian ini akan dibahas determinan dari suatu matriks berordo 2 × 2. Misalkan A adalah matriks persegi ordo 2 × 2 dengan bentuk                  A =

Determinan matriks A di definisikan sebagai selisih antara perkalian elemenelemen pada diagonal utama dengan perkalian elemen-elemen pada diagonal sekunder. Determinan dari matriks A dinotasikan dengan det A atau |A|. Nilai dari determinan suatu matriks berupa bilangan real.

Berdasarkan defi nisi determinan suatu matriks, Anda bisa mencari nilai

determinan dari matriks A, yaitu:

det A = |A| = = a × d – b × c = ad – bc

Contoh :

A = , maka det A = |A| = = 1.4 – 2.3 = 4 – 6 = -2

b.      Determinan matriks ordo 3 x 3

Pada bagian ini, Anda akan mempelajari determinan mariks berordo 3 × 3.

Misalkan A matriks persegi berordo 3 × 3 dengan bentuk

A =

Untuk mencari determinan dari matriks persegi berordo 3 × 3, akan digunakan suatu metode yang dinamakan metode Sarrus.

Adapun langkah-langkah yang harus di lakukan untuk mencari determinan matriks berordo 3 × 3 dengan metode Sarrus adalah sebagai berikut:

1.        Salin kembali kolom pertama dan kolom kedua matriks A di     sebelah  kanan tanda determinan.

2.        Hitunglah jumlah hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama

       dan diagonal lain yang sejajar dengan diagonal utama (lihat gambar). Nyatakan jumlah hasil kali tersebut dengan Du

Du =

3.         Hitunglah jumlah hasil kali elemen-elemen pada diagonal sekunder dan diagonal lain yang sejajar dengan diagonal sekunder (lihar gambar). Nyatakan jumlah hasil harga tersebut dengan Ds.

Ds =

4.        Sesuai dengan defi nisi determinan matriks maka determinan dari matriks A adalah selisih antara Du dan Ds yaitu Du – Ds.

det A =

                                        = () -    ()

   Contoh :

              Diketahui matriks A = Tentukan nilai determinan matriks A.

Jawab :

det A =

                        =  [(–3 × 1 × (–1)) + (4 × 3 × 1) + (2 × 2 × 0)] – [(1 × 1 × 2) +

     (0 × 3 × (–3)) + (–1 × 2 × 4)]

=  (3 + 12 + 0) – (2 + 0 – 8) = 21

Jadi, nilai determinan matriks A adalah 21.

2.    Invers Matriks Persegi

Definisi Invers Matriks

Misalkan A dan B adalah dua matriks yang berordo 2 × 2 dan memenuhi

persamaan AB = BA = I2 maka matriks A adalah matriks invers dari matriks

B atau matriks B adalah matriks invers dari matriks A.

Contoh :

perhatikanlah perkalian matriks-matriksberikut.

·                      Misalkan A =    dan   B =   

AB =  

      = 

      = 

  =  

Perkalian AB menghasilkan  (matriks identitas berordo 2 × 2)

·                     Misalkan P =    dan   Q =   

PQ=  

                                = 

                                = 

                                =  

Perkalian PQ menghasilkan .

Berdasarkan perkalian-perkalian tersebut, ada hal yang harus Anda ingat, yaitu perkalian matriks A dan matriks B menghasilkan matriks identitas (AB = I ) Ini menunjukkan matriks B merupakan matriks invers dari matriks A, yaitu B = A–1 atau bisa juga dikatakan bahwa matriks A merupakan invers dari matriks B, yaitu A = B–1. Begitu pula untuk perkalian matriks P dan matriks Q berlaku hal serupa.

Contoh :

Diketahui matriks A =    dan   B =   tentukan Apakah matriks B merupakan invers dari matriks A?

Jawab :

Matriks B merupakan invers dari matriks A jika memenuhi persamaan

AB = I

AB =  

       =

       =

       = I

Oleh karena AB = I maka matriks B merupakan invers dari matriks A.

·      penurunan rumus invers matriks ordo 2 × 2

Rumus Invers Matriks Berordo 2 × 2

Misalkan A =    invers dari A adalah A^-1, yaitu

A ^-1= , dengan det A ≠ 0

Contoh :

Tentukan invers dari matriks D =    

Jawab :

det D =    = 3(11) – (–7)(–6) = 33 – 42 = –9

D ^-1=

      =

      =

      = 

Matriks ordo 2x2

Misalkan:

maka Determinan A (ditulis ) adalah:

Matriks ordo 3x3

Cara Sarrus

Misalkan:

Jika maka tentukan !

Penghitungan matriks dilakukan dengan cara menambahkan elemen dari kiri atas ke kanan bawah (mulai dari a → e → i, b → f → g, dan c → d → h) lalu dikurangi dengan elemen dari kanan atas ke kiri bawah (mulai dari c → e → g, a → f → h, dan b → d → i) sehingga menjadi:

Contoh:

maka tentukan !

Cara ekspansi baris-kolom

Misalkan:

Jika maka tentukan dengan ekspansi baris pertama!

Matriks Singular

Matriks singular adalah matriks yang nilai determinannya 0.

Contoh:

Jika A matriks singular, tentukan nilai x!

Jawab:

vs

Invers matriks

Invers matriks 2x2

Misalkan:

maka inversnya adalah:

Sifat-sifat invers matriks

Persamaan matriks

Tentukan X matriks dari persamaan:

• Jika diketahui matriks A.X=B

• Jika diketahui matriks X.A=B

Determinan Matriks Persegi Ordo 2

Dalam bagian ini hanya dibahas tentang determinan matriks persegi ordo 2.
Misalkan A matriks persegi ordo 2

    

dengan menggunakan cara di atas maka mudah bagi kita untuk mencari determinan misalnya matriks                 
det P = -4.-2 - 5. 2 = 8 - 10 = -2

Setiap matriks persegi ordo 2 memiliki determinan yang sifatnya unik atau tunggal, karena sifat tersebut maka determinan sesungguhnya adalah fungsi dari himpunan matriks persegi ke himpunan bilangan real.

Beberapa sifat determinan yang mudah ditunjukkan kebenarannya untuk matriks persegi ordo 2.

1. det A = det A^t  
2. det (AB) = det A x det B
3. det(kA) = k².det A,  dengan k skalar real
4. Jika B matriks yang diperoleh dari matriks A dengan cara mempertukarkan baris 1 dan baris 2, atau kolom 1 dan kolom 2, maka

          det B = - det A

DETERMINAN
Determinan matriks 𝐴 di definisikan sebagai selisih antara perkalian elemen – elemen pada diagonal utama dengan perkalian elemen – elemen pada diagonal sekunder. Determinan dari matriks dinotasikan dengan det 𝐴 atau |𝐴|. Nilai dari determinan suatu matriks berupa bilangan real.
a. untuk matriks A2x2
A = tentukan determinan A , det A = ad – bc
b. untuk matriks A3x3
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
A = tentukan determinan A,
det A = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32 – a31.a22.a13 – a32.a23.a11 – a33.a21.a12
= a11 (a22.a33 – a32.a23) + a12(a23.a31- a33.a21) + a31 (a12.a23 – a22.a13)
Contoh : tentukan determinan dari :
a. 3 5
A= 1 2
Jawab :
. 3 5
det 1 2 = 3.2 – 5.1 = 6 – 5 = 1
b. 3 1 0
-2 -4 3
5 4 -2
Jawab :
-4 3 1 0 1 0
Det(A) = 3 4 -2 – (-2) 4 -2 + 5 -4 3
= 3 (-4) – (-2)(-2) + 5(3) = -1

A. Perluasan Kofaktor
Untuk penyelesaian determinan berdimensi lebih dari tiga digunakan metode minor dan kofaktor dari matriks yang bersangkutan.
a. Pengertian Minor . Minor suatu matriks 𝐴 dilambangkan dengan 𝑀𝑖j adalah matriks bagian dari 𝐴 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen – elemennya pada baris ke-𝑖 dan elemen elemen pada kolom ke-𝑗.
b. kofaktor adalah hasil perkalian minor dengan suatu angka yang besarnya menuruti suatu aturan yaitu (-1)i+j dimana i adalah baris dan j adalah kolom. Kofaktor suatu elemen baris ke-𝑖 dan kolom ke-𝑗dari matriks A dilambangkan dengan
𝐾𝑖j =(−1)𝑖+𝑗. |𝑀𝑖j| = (−1)𝑖+𝑗.det (𝑀𝑖.j)
Penentuan tanda dr determinan matriks persegi berodo 3×3 :
+ – +
- + -
+ – +
Untuk mencari det (A) dg metode ekspansi kofaktor cukup mengambil satu ekspansi saja misal ekspansi baris ke -1.
Misal :
A = tentukan determinan A
Minor dari a11
M11 = = detM = a22a33 – a23a32
Kemudian kofaktor dari a11 adalah
c11 = (-1)1+1 det (M11) = (-1)1+1 a22a33 – a23a32
Secara keseluruhan, definisi determinan ordo 3×3 adalah
det(A) = a11C11+a12C12+a13C13
Contoh :
3 2 4
1 7 5
𝑄 = 7 2 4
Untuk mendapatkan det(𝑄) dengan metode kofaktor adalah mencari terlebih dahulu determinan – determinan minornya yang diperoleh dari ekspansi baris ke-1 diatas, yaitu :
7 5 1 5
M11= 2 3 , det(𝑀11) = 11 ; M12= 7 3 , det(𝑀12) = -32 ;
1 7
M13= 7 2 , det(𝑀13)=− 47
det(𝑄) = C11.𝑞11+C12.𝑞12+C13.𝑞13
= (−1)1+1.|𝑀11|.𝑞11+ (−1)1+2.|𝑀12|.𝑞12 + (−1)1+3.|𝑀13|.𝑞13
=11.3 − (−32).2 + (−47).4 =33+64−188 = −91
Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris Pertama
Misalkan ada sebuah matriks A3x3
A =
maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah,
det(A) = a11 – a12 + a13
= a11(a22a33 – a23a32) – a12(a21a33 – a23a31) + a13(a21a32 – a22a31)
Contoh Soal:
A = tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor baris pertama
Jawab:
det(A) = = 1 – 2 + 3 = 1(-3) – 2(-8) + 3(-7) = -8
Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom Pertama
Pada dasarnya ekspansi kolom hampir sama dengan ekspansi baris seperti di atas. Tetapi ada satu hal yang membedakan keduanya yaitu faktor pengali. Pada ekspansi baris, kita mengalikan minor dengan komponen baris pertama. Sedangkan dengan ekspansi pada kolom pertama, kita mengalikan minor dengan kompone kolom pertama.
Misalkan ada sebuah matriks A3x3
A =
maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah,
det(A) = a11 – a21 + a31
= a11(a22a33 – a23a32) – a21(a21a33 – a23a31) + a31(a21a32 – a22a31)
= a11a22a33 + a21a23a31 + a31a21a32 – a22(a31)2 – (a21)2a33 – a11a23a32
Contoh Soal:
A = tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor kolom pertama
Jawab:
det(A) = = 1 – 4 + 3 = 1(-3) – 4(-8) + 3(-7) = 8